На главную     ↑ Выше

Расчёт фазочастотных характеристик


Фазочастотная характеристика (ФЧХ) 4-х полюсника (фильтра) показывает на какой угол сдвигается гармоническое напряжение на выходе относительно входа. Линейность ФЧХ играет большую роль для одних видов сигналов, например, цифровых и практически не играет роли для других, например, для речевого сигнала. В теории линейный 4-х полюсников (фильтров) существует понятие комплексного коэффициента передачи:

      K(f) = Un(f) / E(f)

Здесь жирный шрифт означает комплексную величину, которая учитывает не только соотношение амплитуд, но и сдвиг фазы гармонического напряжения. Комплексный коэффициент передачи - это комплексное число, которое можно представить в различны формах, например, самое обычное - в виде действительной Re и мнимой Im частей:

      K(f) = Re K(f) + iIm K(f),

где i - мнимая единица.
В радиотехнике более удобной является т.н. показательная форма представления комплексного числа. В нашем случае она будет выглядеть так:

      K(f) = K(f)eiφ(f),

где K(f) - это модуль коэффициента передачи или амплитудно-частотная характеристика, тогда как φ(f) - это и есть фазочастотная характеристика 4-х полюсника.
На странице "Расчёт амплитудно-частотных характеристик" нас интересовал модуль комплексного коэффициента передачи:

      K(f) = | K(f) |

Здесь же нас будет интересовать φ(f), значение которой определяется как:

      φ(f) = arctg [Im K(f) / Re K(f)]

В калькуляторе KAN имеется функция argC(), которая позволяет вычислять фазу комплексного числа в радианах. Для перевода из радиан в градусы имеется другая функция rad_to_grad().
На странице "Расчёт амплитудно-частотных характеристик" мы подробно рассмотрели подход, который позволяет легко рассчитать комплексный коэффициент передачи. Нам остаётся только добавить указанные функции для того, чтобы получить интересующую нас ФЧХ:
Рассмотрим расчёт ФЧХ на примере простейшей интегрирующей RC-цепочки:
Рис.1

Зададим номиналы: R = 1 кОм , С = 1 мкФ, которые соответствуют частоте среза fc = ~ 160 Гц. Программа для калькулятора KAN будет выглядеть следующим образом:


; Калькулятор KAN. http://калькулятор.нехаев.рф/calc/calculator.html
; расчёт ФЧХ RC-фильтра нижних частот при заданных R и C
C = 1E-6; ёмкость в Фарадах
R = 1000 ; сопротивление в Омах
;цикл расчета АЧХ фильтра
[ f = 10 : 1000, 10 ; пределы цикла f_min : f_max, f_step
w = 2*pi*f ; круговая частота
ZC = -(0#(1/(w*C))) ; комплексное сопротивление ёмкости
K = ZC/(R + ZC ) ; комплексный коэффициент передачи
fi = argC (K) ; фаза коэффициента передачи в радианах
fi = rad_to_grad(fi) ; фаза коэффициента передачи в градусах
val(f,fi); вывод данных в таблицу и на график
] ; завершение цикла
grafY(-90,0) ; пределы по оси Y
grafX(0,1000) ; пределы по оси X


Её нужно скопировать в окно калькулятора и нажать кнопку "Вычислить". Результатом будут таблица и график ФЧХ в градусах, который показан ниже:
Рис. 2

Из графика следует, что фаза выходного напряжения на выходе RC-цепи отстаёт от фазы входного напряжения, причём угол отставания изменяется от 0 на нижних частотах до 90 градусов на верхних.
Наряду с ФЧХ в радиотехнике применяется другая связанная с ней характеристика - групповое время замедления(ГВЗ), показывающая на какое время выходной сигнал отстаёт от входного. ГВЗ есть производная с обратным знаком от ФЧХ:

      τ(ω) = - d φ(ω) / dω

где ω = 2πf - круговая частота.
Программа для расчета ГВЗ методом численного дифференцирования для RC-цепи (рис. 1) приведена ниже:

; Калькулятор KAN. http://калькулятор.нехаев.рф/calc/calculator.html
; расчёт ГВЗ RC-фильтра нижних частот при заданных R и C
C = 1E-6; ёмкость в Фарадах
R = 1000 ; сопротивление в Омах
;цикл расчета АЧХ фильтра
fi1 = 0
w1 = 0
[ f = 10 : 1000, 10 ; пределы цикла f_min : f_max, f_step
w = 2*pi*f ; круговая частота
ZC = -(0#(1/(w*C))) ; комплексное сопротивление ёмкости
K = ZC/(R + ZC ) ; комплексный коэффициент передачи
fi = argC (K) ; фаза коэффициента передачи в радианах
d_fi = fi - fi1
d_w = w - w1
fi1 = fi
w1 = w
tau = - d_fi/d_w ; ГВЗ в секундах
tau = 1000*tau ; ГВЗ в миллисекундах
;
val(f,tau); вывод данных в таблицу и на график
] ; завершение цикла
grafY(0,1) ; пределы по оси Y
grafX(0,1000) ; пределы по оси X


Программа выдаст следующий график зависимости ГВЗ в миллисекундах от частоты:
Рис. 3

Эти программы нетрудно применить для 4-х полюсника любой сложности, используя для расчёта комплексного коэффициента передачи подход, рассмотренный на странице "Расчёт амплитудно-частотных характеристик".