На главную     ↑ Выше

Расчёт амплитудно-частотных характеристик
(метод делителей напряжения)


На страницах:

Метод контурных токов

Метод узловых напряжений

были рассмотрены методы, которые можно использовать для расчёта амплитудно- и фазо- частотных характеристик любых линейных четырёхполюсников. Однако для многозвенных четырёхполюсников эти методы приводят к весьма громоздким вычислениям, поскольку связаны с решением уравнений высокого порядка. Ниже мы рассмотрим метод, который сводится к расчёту коэффициентов передачи отдельных звеньев четырёхполюсника путём вычисления параллельных и последовательных сопротивлений и не требует составления уравнений. Т.е. он более инженерный и более простой.

Элементы теории


Под амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) обычно понимается соотношение между выходным и входным напряжением четырёхполюсника, которое называется коэффициентом передачи:


      K(f) = Un(f) / E(f)

Здесь Un(f) и E(f) - выходное и входное напряжение соответственно, которые можно измерить физически, т.е. с помощью вольтметров V1 и V2 как показано на рис. 1.
Рис.1

Соответственно K(f) - это действительное число, указывающее во сколько раз напряжение на выходе четырёхполюсника больше напряжения на его входе .
В теории существует также понятие комплексного коэффициента передачи:

      K(f) = Un(f) / E(f)

Здесь жирный шрифт означает комплексную величину, которая учитывает не только соотношение амплитуд, но и сдвиг фазы гармонического напряжения. На практике, в большинстве случаев, основной интерес представляет амплитуда напряжения. В этом случае, если известно K(f), то K(f) вычисляется как модуль комплексного числа:

      K(f) = | K(f) |

При необходимости от K(f) можно определить так же и фазо-частотную характеристику, которую мы здесь касаться не будем.
Рассмотрим расчёт АЧХ на примере простейшей интегрирующей RC-цепочки:
Рис.2

Как видим, RC-цепочка это простой делитель напряжения, хотя и частотно зависимый. Передаточная функция определяется как:

K(f) = Zc(f) R + Zc(f) (1)
Комплексное сопротивление ёмкости: Zс = -i/ωC, где i - мнимая единица, ω = 2πf - круговая частота.
Подставив эти значения, приведём формулу к следующему виду:
K(f) = 1 1 + i2πfRC
Отсюда находим коэффициент передачи как модуль передаточной функции:
K(f) = 1 √ 1 + (2πfRC) 2 (2)
Из формулы следует, что при f = 0, K(0) = 1, а с ростом частоты значения K(f) уменьшаются. Это означает, что данная RC-цепь обладает свойствами фильтра нижних частот. Из формулы нетрудно определить частоту среза данного фильтра - т.е. частоту fc при которой коэффициент передачи равен K(fc) = 1 /√2:

      fc = 1/2πRC

Зададим номиналы: R = 1 кОм , С = 1 мкФ и при помощи формы определим: fc = ~ 160 Гц. Теперь перейдём непосредственно к расчёту АЧХ, используя формулу (2) и калькулятор KAN.
Ниже представлен текст соответствующей программы, которую нужно ввести в окно калькулятора и нажать кнопку "Вычислить".

; Калькулятор KAN. http://калькулятор.нехаев.рф/calc/calculator.html
; расчёт АЧХ RC-фильтра нижних частот при заданных R и C
; по аналитической формуле
C = 1E-6; ёмкость в Фарадах
R = 1000 ; сопротивление в Омах
;цикл расчета АЧХ фильтра
[ f = 10 : 1000, 10 ; пределы цикла f_min : f_max, f_step
K = 1/sqr( 1 + (2*pi*f*R*C)^2) ; коэфф передачи
K_dB = 20*lg(K) ; коэфф передачи в децибелах
val(f,K_dB); вывод данных в таблицу и на график
] ; завершение цикла
grafY(-20,0) ; пределы по оси Y
grafX(0,1000) ; пределы по оси X



Результатом будут таблица и график АЧХ в децибелах, который показан ниже:
Строка:
 
K = 1/sqr( 1 + (2*pi*f*R*C)^2) ; коэфф передачи

- это программный код, соответствующий формуле (2).

Рис. 3

График представлен, как это обычно принято, в децибелах, где

      K(f)db = 20Lg K(f)
Рассмотренный подход расчёта АЧХ можно назвать аналитическим, т.к. мы вывели аналитическую формулу (2), по которой затем и произвели расчёт. Однако такой подход применим только для простых схем, содержащих небольшое число элементов. Ниже мы рассмотрим более универсальный подход, основанный на возможностях калькулятора KAN производить вычисления с комплексными числами.
Предварительно для понимания сути подхода снова рассмотрим схему RC-цепи на рис. 2 и соответствующую ей формулу комплексного коэффициента передачи (1). Составим также программу для расчёта АЧХ с использование комплексных вычислений:

; Калькулятор KAN. http://калькулятор.нехаев.рф/calc/calculator.html
; расчёт АЧХ RC-фильтра нижних частот при заданных R и C
; по комплексным коэффициентам передачи
C = 1E-6; ёмкость в Фарадах
R = 1000 ; сопротивление в Омах
;цикл расчета АЧХ фильтра
[ f = 10 : 1000, 10 ; пределы цикла f_min : f_max, f_step
w = 2*pi*f ; круговая частота
ZC = -(0#(1/(w*C))) ; комплексное сопротивление ёмкости
K = ZC/(R + ZC ) ; комплексный коэффициент передачи
K = modC (K) ; модуль коэффициента передачи
K_dB = 20*lg(K) ; коэфф передачи в децибелах
val(f,K_dB); вывод данных в таблицу и на график
] ; завершение цикла
grafY(-20,0) ; пределы по оси Y
grafX(0,1000) ; пределы по оси X



Ниже приведён фрагмент программы, где вычисляются коэффициенты передачи
 
K = ZC/(R + ZC )  ; комплексный коэффициент передачи
K = modC (K) ; модуль коэффициента передачи
K_dB = 20*lg(K) ; коэфф передачи в децибелах

Первая строка соответствует формуле (1) и вычисляет комплексный коэффициент передачи. Вторая строка - взятие модуля комплексного числа. Третья - перевод в децибелы. Если ввести текст программы в окно калькулятора, то получим график идентичный тому, что на рис. 3. Строка:
 
ZC = -(0#(1/(w*C))) ; комплексное сопротивление ёмкости

соответствует математической записи: Zc = -i/ωC (точнее Zc = 0 - i/ωC), где i - мнимая единица.

Расчёт АЧХ сложных схем

Перейдём к более сложным схемам. Расcмотрим схему LC-фильтра нижних частот третьего порядка:
Рис. 4

Для частоты среза 100 Гц и C = 10 мкФ (10E-6 Ф) расчётом по форме получено:

      L1 = L2 = 0.5 Гн (L/2)
      Rn = Ri = 318 Ом

Цифрами 1,2,3 на схеме обозначим точки, где имеет место деление напряжения. Этим точкам соответствуют комплексные коэффициенты передачи:

      K1 = Z1/(Ri + Z1)
      K2 = Z2/(ZL1 + Z2)
      K3 = Rn/(ZL2 + Rn)

где Zi - комплексное сопротивление между i-ой и 0-ой точками. Точка 0 соответствует общему узлу ("земле"). ZL1 и ZL2 - комплексные сопротивления соответствующих индуктивностей.

      Z2 = ZC||(ZL2 + Rn)
      Z1 = ZL1 + Z2

Общий комплексный коэффициент передачи фильтра равен произведению комплексных коэффициентов передачи всех звеньев:

      K = K1•K2•K3

Ниже приведена программа расчёта АЧХ данного фильтра:


; Калькулятор KAN. http://калькулятор.нехаев.рф/calc/calculator.html
; расчёт АЧХ LC-фильтра нижних частот 3-го порядка
; метод делителей напряжения
C = 10E-6; ёмкость в Фарадах
Ri = 318; сопротивление в Омах
Rn = Ri
L1 = 0.5
L2 = L1
;цикл расчета АЧХ фильтра
[ f = 10 : 1000, 10 ; пределы цикла f_min : f_max, f_step
w = 2*pi*f ; круговая частота
ZC = -(0#(1/(w*C))) ; комплексное сопротивление ёмкости
ZL1 = 0#(w*L1) ; комплексное сопротивление индуктивности
ZL2 = ZL1
Z2 = parC(ZC,(ZL2 + Rn))
Z1 = ZL1 + Z2
K1 = Z1/(Ri + Z1)
K2 = Z2/(ZL1 + Z2)
K3 = Rn/(ZL2 + Rn)
K = K1*K2*K3 ; комплексный коэффициент передачи фильтра
K = modC (K) ; модуль коэффициента передачи
K_dB = 20*lg(K) ; коэфф передачи в децибелах
val(f,K_dB); вывод данных в таблицу и на график
] ; завершение цикла
grafY(-30,0) ; пределы по оси Y
grafX(0,400) ; пределы по оси X



На рис. 5 показан график АЧХ данного фильтра:

Рис. 5

Видно, что на частоте 100 Гц коэффициент передачи равен -9 дБ или -3 дБ относительно нулевой частоты.


Для обобщения рассмотренного подхода приведём схему общего вида, к которой можно свести любой линейный 4-х полюсник, состоящий из последовательно соединённых звеньев:
Рис. 6


Комплексные коэффициенты передачи для отдельных звеньев:

      Kn = Zn/(Zn + Zn-1,n)
      ...
      K3 = Z23/(Z23 + Z3)
      K2 = Z12/(Z12 + Z2)
      K1 = Z01/(Z01 + Z1)

где Zi - сопротивление между i-m и 0-ым узлами. В отличие от Zi0 оно является параллельным сопротивлением Zi0 и сопротивлением всей сборки сопротивлений справа от него, которое очевидно равно Zi+1:

      Zi = Zi0||Zi+1

Поэтому Zi рассчитывается последовательно справа налево (см. пример ниже).
Комплексный коэффициент передачи всего 4-х полюсника:

      K = K1•K2•K3...•Kn

Модуль коэффициента передачи

      K = | K |

В заключение рассмотрим популярный в своё время фильтр на частоту среза 3000 Гц с весьма крутым срезом и значительным затуханием в полосе непропускания:
Рис. 7


Программа приведена ниже:

; Калькулятор KAN. http://калькулятор.нехаев.рф/calc/calculator.html
; расчёт АЧХ LC-фильтра нижних частот с крутым срезом
; метод делителей напряжения
; ёмкости в Ф
C1 = 24300E-12
C2 = 2610E-12
C3 = 26300E-12
C4 = 13600E-12
C5 = 22500E-12
C6 = 9030E-12
C7 = 19700E-12
; индуктивности в Гн
L1 = 231E-3
L2 = 146E-3
L3 = 168E-3
;
Rn = 4700
Ri = Rn
;
;цикл расчета АЧХ фильтра
[ f = 10 : 10000, 10 ; пределы цикла f_min : f_max, f_step
w = 2*pi*f ; круговая частота
; комплексные сопротивления ёмкостей
ZC1 = -(0#(1/(w*C1)))
ZC2 = -(0#(1/(w*C2)))
ZC3 = -(0#(1/(w*C3)))
ZC4 = -(0#(1/(w*C4)))
ZC5 = -(0#(1/(w*C5)))
ZC6 = -(0#(1/(w*C6)))
ZC7 = -(0#(1/(w*C7)))
; комплексные сопротивления индуктивностей
ZL1 = 0#(w*L1)
ZL2 = 0#(w*L2)
ZL3 = 0#(w*L3)
;
Z4 = parC(ZC7, Rn)
Z3_4 = parC(ZL3, ZC6)
K4 = Z4/(Z4 + Z3_4)
;
Z3 = parC(ZC5,(Z3_4 + Z4))
Z2_3 = parC(ZL2, ZC4)
K3 = Z3/(Z3 + Z2_3)
;
Z2 = parC(ZC3,(Z2_3 + Z3))
Z1_2 = parC(ZL1, ZC2)
K2 = Z2/(Z2 + Z1_2)
;
Z1 = parC(ZC1,(Z1_2 + Z2))
K1 = Z1/(Z1 + Ri)
;
K = K1*K2*K3*K4 ; комплексный коэффициент передачи фильтра
K = modC(K) ; модуль коэффициента передачи
K_dB = 20*lg(K) ; коэфф передачи в децибелах
val(f,K_dB); вывод данных в таблицу и на график
] ; завершение цикла
grafY(-100,0) ; пределы по оси Y
grafX(0,10000) ; пределы по оси X



График АЧХ данного ФНЧ представлен на рис. 7
.
Рис. 8

Судя по виду АЧХ, это т.н. эллиптический фильтр.
Данную программу легко распространить на схему линейного 4-х полюсника любой сложности. Однако оговоримся, что данный метод применим только к 4-х полюсникам, звенья которых соединены последовательно, а прямые соединения звеньев через звено и больше отсутствуют (такие соединения характерны для мостовых 4-х полюсников). В этом случае воспользуйтесь методами контурных токов или узловых напряжений.